Cho hai phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0;\) \({x^2} + 4bx + 3a = 0\) với \(a;\,\,b\) là các số thực. Chứng minh nếu \(3a + 2b \ge 2\) thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết:Xét phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có \({\Delta _1}' = 9{a^2} - 2b\). Phương trình \({x^2} + 4bx + 3a = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) có \({\Delta _2}' = 4{b^2} - 3a\). Ta có: \({\Delta _1}' + {\Delta _2}' = 9{a^2} + 4{b^2} - \left( {3a + 2b} \right)\) \(\begin{array}{l} = 9{a^2} - 6a + 1 + 4{b^2} - 4b + 1 + 3a + 2b - 2\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} + 3a + 2b - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,3a + 2b \ge 2} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow {\Delta _1}' + {\Delta _2}' \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b\) thỏa mãn \(3a + 2b \ge 2\). Suy trong hai biểu thức \({\Delta _1}',\,\,{\Delta _2}'\) sẽ có ít nhất 1 biểu thức lớn hơn bằng 0. Do đó ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm (đpcm).