Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Nếu tổng hai số là không âm thì ít nhất một trong hai số đó không âm.Giải chi tiết:Xét phương trình: \(\left( {{x^2} + mx + n} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + mx + n = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + nx + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Có \({\Delta _1} = {m^2} - 4n,{\Delta _2} = {n^2} - 4m\)
\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {m^2} + {n^2} - 4\left( {m + n} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m + n = \dfrac{{mn}}{2},\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được:
\({\Delta _1} + {\Delta _2} = {m^2} + {n^2} - 4.\dfrac{{mn}}{2}\) \( = {\left( {m - n} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\) nên tồn tại ít nhất một trong hai biệt thức \({\Delta _1},{\Delta _2}\) không âm.
Suy ra ít nhất một trong hai phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) có nghiệm
Suy ra phương trình \(\left( {{x^2} + mx + n} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
