Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy
\end{array}\)
Theo giả thiết ta có
\(\begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^3} + 4xy \ge 2\\
\Leftrightarrow 2 \le {\left( {x + y} \right)^3} + 4xy \le {\left( {x + y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^2} - 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x + y} \right)^2} + 2{\left( {x + y} \right)^2} - 2\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + y} \right) - 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2\left( {x + y} \right) + 2} \right] \ge 0\\
\Leftrightarrow x + y - 1 \ge 0\\
\Leftrightarrow x + y \ge 1
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\)
