Cho hàm số \((C):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1.\) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -3;1 \right)\) và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau A.\(0<k<1\) B.\(k>0\) C.\(0<k\ne 9\) D.\(1<k<9\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\left( C \right)\) trên \(R\) Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x\) ; \(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên \(R\), đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào. Ta có: \(a=1>0\Rightarrow B\left( 0;1 \right)\) là điểm cực tiểu của (C). Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;0 \right)\Rightarrow AB\parallel Ox.\) \(\Rightarrow \) để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k > 0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Gọi \(d:y=kx+a\) với \(k>0;k,a\in R\) Ta lại có \(A\left( -3;1 \right)\in d\Rightarrow 1=-3k+a\Leftrightarrow a=1+3k.\) \(\Rightarrow d_y=kx+3k+1.\) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình: \(kx+3k+1={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-k \right)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \pm \sqrt k \end{array} \right.\) vì k > 0. Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow k\ne 9.\) Vậy \(k>0;k\ne 9\) thỏa mãn yêu cầu của bài. Đáp án C.