Cho hàm số $\displaystyle y={{\left| x \right|}^{3}}-mx+5$,$\displaystyle m$ là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Đáp án đúng: B Ta có: $\displaystyle y=\sqrt{{{{x}^{6}}}}-mx+5$ Suy ra:$\displaystyle {y}'=\frac{{3{{x}^{5}}}}{{{{{\left| x \right|}}^{3}}}}-m=\frac{{3{{x}^{5}}-m{{{\left| x \right|}}^{3}}}}{{{{{\left| x \right|}}^{3}}}}$ và hàm số không có đạo hàm tại$\displaystyle x=0$. TH1:$\displaystyle m=0$. Ta có:$\displaystyle {y}'=\frac{{5{{x}^{5}}}}{{{{{\left| x \right|}}^{3}}}}=0$ vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại$\displaystyle x=0$.
Do đó hàm số có đúng một cực trị. TH2:$\displaystyle m>0$. Ta có:$\displaystyle {y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{5}}=m{{\left| x \right|}^{3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>0\\3{{x}^{5}}=m{{x}^{3}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\sqrt{{\frac{m}{3}}}$ Bảng biến thiên
Do đó hàm số có đúng một cực trị. TH3: $\displaystyle m<0$. Ta có:$\displaystyle {y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{5}}=m{{\left| x \right|}^{3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x<0\\3{{x}^{5}}=-m{{x}^{3}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=-\sqrt{{-\frac{m}{3}}}$
Do đó hàm số có đúng một cực trị. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số $\displaystyle m$ Chú ý: Thay vì trường hợp$\displaystyle 2$ ta xét$\displaystyle m>0$, ta có thể chọn$\displaystyle m$ là một số dương (như$\displaystyle m=3$) để làm. Tương tự ở trường hợp$\displaystyle 3$, ta chọn$\displaystyle m=-3$ để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn. Đáp án B
