Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{{\sqrt{{x+1}}}},x>0.$ Giá trị của$\underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {f\left( {\frac{1}{{{{n}^{2}}}}} \right)+f\left( {\frac{2}{{{{n}^{2}}}}} \right)+...+f\left( {\frac{n}{{{{n}^{2}}}}} \right)} \right)$bằng?A.

182920093042066

2 năm trước

Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{{\sqrt{{x+1}}}},x>0.$ Giá trị của$\underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {f\left( {\frac{1}{{{{n}^{2}}}}} \right)+f\left( {\frac{2}{{{{n}^{2}}}}} \right)+...+f\left( {\frac{n}{{{{n}^{2}}}}} \right)} \right)$bằng?
A. $1.$
B. $2.$
C. $0.$
D. $\frac{1}{2}.$

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 21 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Huynhtuyen

Đáp án đúng: D
+ Đặt ${{S}_{n}}=f\left( {\frac{1}{{{{n}^{2}}}}} \right)+f\left( {\frac{2}{{{{n}^{2}}}}} \right)+...+f\left( {\frac{n}{{{{n}^{2}}}}} \right).$
+ Sử dụng tính chất hàm số đơn điệu chứng minh được$x-\frac{{{{x}^{2}}}}{2}<f(x)<x,\forall x>0.$
Vì$\forall x>0=>\sqrt{{x+1}}>1=>\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}<1=>\frac{x}{{\sqrt{{x+1}}}}<x=>f(x)<x(1).$
Lại có ta xét$g(x)=\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}-\left( {1-\frac{x}{2}} \right),x>0=>{{g}^{'}}(x)>0=>$ g(x) đồng biến trên$\left( {0;+\infty } \right)=>g(x)>g(0),x>0=>\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}}}>1-\frac{x}{2}=>f(x)>x-\frac{{{{x}^{2}}}}{2},x>0(2).$
Từ (1),(2) suy ra điều cần chứng minh.
+ Vì$x-\frac{{{{x}^{2}}}}{2}<f(x)<x,x>0=>\frac{i}{{{{n}^{2}}}}-\frac{{{{i}^{2}}}}{{2{{n}^{4}}}}<f(\frac{i}{{{{n}^{2}}}})<\frac{i}{{{{n}^{2}}}}\left( {i=\overline{{1,n}}} \right).$
Khi đó ta có$\begin{array}{l}\frac{{1+2+...+n}}{{{{n}^{2}}}}-\frac{{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{n}^{2}}}}{{2{{n}^{4}}}}<{{S}_{n}}<\frac{{n(n+1)}}{{2{{n}^{2}}}}=>\frac{{n(n+1)}}{{2{{n}^{2}}}}-\frac{{n(n+1)(2n+1)}}{{6.2{{n}^{4}}}}<{{S}_{n}}<\frac{{n+1}}{{2n}}\\=>\frac{{n+1}}{{2n}}-\frac{{(n+1)(2n+1)}}{{12{{n}^{3}}}}<{{S}_{n}}<\frac{{n+1}}{{2n}}.\end{array}$
Vì$\underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {\frac{{n+1}}{{2n}}-\frac{{(n+1)(2n+1)}}{{12{{n}^{3}}}}} \right]=\underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{n+1}}{{2n}}=\frac{1}{2}=>\underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{S}_{n}}=\frac{1}{2}.$

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số liên tục và luôn nghịch biến trên . Hỏi hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây?
A.
B.
C.
D.

Cho hàm số $y=\frac{{mx-2}}{{x-1}}$$\left( {{{C}_{m}}} \right)$. Tìm$m$ để giao điểm của hai tiệm cận của$\left( {{{C}_{m}}} \right)$ trùng với tọa độ đỉnh của Parabol$\left( P \right):y={{x}^{2}}-2x+3$.
A. $m=2$
B. $m=1$
C. $m=0$
D. $m=-2$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+ax+1$ đạt cực trị tại${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn$(x_{1}^{2}+{{x}_{2}}+2a)(x_{2}^{2}+{{x}_{1}}+2a)=9$.
A. a = 2.
B. a = – 4.
C. a = -3.
D. a = -1.

Cho hàm số: y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) giá trị của m để hàm số đồng biến trên
[2 ; +∞) là
A. m < 5
B. -2 < m <
C. m > -2
D. m <

Cho hàm số $\displaystyle y=\frac{{3x-1}}{{x-3}}$ có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A. $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {1;-1} \right);{{M}_{2}}\left( {7;5} \right)$
B. $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {1;1} \right);{{M}_{2}}\left( {-7;5} \right)$
C. $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {-1;1} \right);{{M}_{2}}\left( {7;5} \right)$
D. $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {1;1} \right);{{M}_{2}}\left( {7;-5} \right)$

Gọi có tung độ bằng . Tiếp tuyến của tại cắt các trục tọa độ , lần lượt tại và .Hãy tính diện tích tam giác ?
A.
B.
C.
D.

Cho hàm số $\displaystyle f(x)=\frac{{3x+1}}{{-x+1}}$. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng?
A. $f(x)$ nghịch biến trên$\mathbb{R}$.
B. $f(x)$ nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).
C. $f(x)$ đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).
D. $f(x)$ đồng biến trên$\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.

Tọa độ điểm I đối xứng với K(1; 1; 1) qua mặt phẳng (P): x - y - z + 3 = 0 là?
A. $(\frac{1}{3};-\frac{7}{3};\frac{7}{3}).$
B. $(\frac{1}{3};-\frac{7}{3};-\frac{7}{3}).$
C. $(-\frac{1}{3};\frac{7}{3};-\frac{7}{3}).$
D. $(-\frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}).$

Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng song song với trục Oz là
A. y + z + 1= 0.
B. x + z + 1 = 0.
C. x – y + 9 = 0.
D. A, B, C đều sai.

Tập xác định của hàm số $y={{2}^{\sqrt{\left| x-3 \right|-\left| 8-x \right|}}}+\sqrt{\frac{-{{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-8}}}$ là
A. $\left( 0;\frac{11}{2} \right).$
B. $\left( \frac{11}{2};+\infty \right).$
C. $\left( -\infty ;\frac{11}{2} \right].$
D. $\left[ \frac{11}{2};+\infty \right).$

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến