Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Đặt \(t = 7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} = 7 - 4\sqrt {1 - \left( {1 - 6x + 9{x^2}} \right)} = 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {\left( {3x - 1} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \ge 3 \Leftrightarrow t \ge 3\\\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \le 0 \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \le 7 \Leftrightarrow t \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le t \le 7\).
Khi đó ta có \(f\left( t \right) + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 1 - 3m\,\,\forall t \in \left[ {3;7} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^{t - 4}} + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}} - 6t + 3\) với \(t \in \left[ {3;7} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {3^{t - 4}}\ln 3 + {2^{7 - t}} - \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}\ln 2 - 6\\f''\left( t \right) = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 3} \right)^2} - {2^{7 - t}}\ln 2 - {2^{7 - t}}\ln 2 + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}{\left( {\ln 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 3} \right)^2} - {2.2^{7 - t}}\ln 2 + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}{\left( {\ln 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 2} \right)^2} + {2^{7 - t}}\ln 2\left( { - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2} \right)\end{array}\)
Với
\(\begin{array}{l}3 \le t \le 7 \Leftrightarrow 4 \le t + 1 \le 8 \Leftrightarrow 4\ln 2 \le \left( {t + 1} \right)\ln 2 \le 8\ln 2\\ \Leftrightarrow - 2 + 4\ln 2 \le - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2 \le - 2 + 8\ln 2 \Rightarrow - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2 > 0\\ \Rightarrow f''\left( t \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {3;7} \right] \end{array}\)
\(\Rightarrow \) Hàm số \(y = f’\left( t \right)\) đồng biến trên [3 ; 7].
Lập BBT của hàm số \(y = f’\left( t \right)\) :
Dựa vào BBT ta có phương trình \( f’\left( t \right) = 0\) có một nghiệm duy nhất \(t = {t_0}\), ta lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) như sau :
Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 1 - 3m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 1 - 3m\) song song với trục hoành.
Phương trình \(f\left( t \right) = 1 - 3m\) có số nghiệm nhiều nhất
\( \Leftrightarrow f\left( {{t_0}} \right) < 1 - 3m \le - 4 \Leftrightarrow \frac{5}{3} \le m \le \frac{{1 - f\left( {{t_0}} \right)}}{3} \Leftrightarrow {m_{\min }} = \frac{5}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow T = a + b = 8\).
Chọn C.
