Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Biến đổi \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\). Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).
- Sử dụng nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}} = \dfrac{2}{a}\sqrt {ax + b} + C\).
- Thay \(x = 0\) tìm hằng số \(C\). Từ đó suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).
- Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng MTCT.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)dx} \) \( = 2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} + C\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow - 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = 3\). Suy ra \(f\left( x \right) = 2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} + 3\).
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2\sqrt x - 2\sqrt {x - 1} + 3} \right)dx} = \dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \) (sử dụng MTCT).
Chọn B.
