- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\). - Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - \dfrac{3}{2};2} \right]\) của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\). - Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{3}{2};2} \right]\) và tìm GTLN.Giải chi tiết:Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x} \right) - 4\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( {2x} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) = 1\). Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đề bài cho ta thấy trên \(\left[ { - \dfrac{3}{2};2} \right]\) đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) tại \(x = 0,\,\,x = 2\), trong đó \(x = 0\) là nghiệm kép.
Do đó \(f'\left( {2x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\) (không xét nghiệm kép \(2x = 0\) vì qua các nghiệm của phương trình này thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu. Lấy \(x = 0\) ta có \(g'\left( { - 1} \right) = 2f'\left( { - 1} \right) - 4 > 0\) dó \(f'\left( { - 1} \right) > 2\). Do đó ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{3}{2};1} \right]\) như sau:
