Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Cô lập tham số m về một vế.
- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên của hàm số ẩn x, đặt ẩn phụ \(t = \sin x - 2\).
- Xét tính đơn điệu của hàm số, giải bất phương trình \(m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).
Giải chi tiết:Ta có \(2f\left( {\sin x - 2} \right) - \dfrac{{2{{\sin }^3}x}}{3} + \sin x > m + \dfrac{{5\cos 2x}}{4}\).
\( \Leftrightarrow 2f\left( {\sin x - 2} \right) - \dfrac{{2{{\sin }^3}x}}{3} + \sin x - \dfrac{{5\cos 2x}}{4} > m\,\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( {\sin x - 2} \right) - \dfrac{{2{{\sin }^3}x}}{3} + \sin x - \dfrac{{5\cos 2x}}{4}\)  
\( \Rightarrow m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2\cos xf'\left( {\sin x - 2} \right) - 2{\sin ^2}x\cos x + \cos x + \dfrac{5}{2}\sin 2x = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\cos xf'\left( {\sin x - 2} \right) - 2{\sin ^2}x\cos x + \cos x + 5\sin x\cos x = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \cos x\left[ {2f'\left( {\sin x - 2} \right) - 2{{\sin }^2}x + 1 + 5\sin x} \right] = 0\end{array}\)
Với \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0\), khi đó ta có:  \(2f'\left( {\sin x - 2} \right) - 2{\sin ^2}x + 1 + 5\sin x = 0\).
Đặt \(t = \sin x - 2\). Với \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow  - 1 < \sin x < 1 \Rightarrow  - 3 < t <  - 1\).  
­Khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2f'\left( t \right) - 2{\left( {t + 2} \right)^2} + 1 + 5\left( {t + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2f'\left( t \right) - 2{t^2} - 8t - 8 + 1 + 5t + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2f'\left( t \right) = 2{t^2} + 3t - 3\\ \Leftrightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2} + 3t - 3}}{2}\end{array}\)
Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = \dfrac{{2{t^2} + 3t - 2}}{2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) luôn nằm dưới đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2{t^2} + 3t - 3}}{2}\) hay \(f'\left( t \right) < \dfrac{{2{t^2} + 3t - 1}}{2}\,\,\forall t \in \left( { - 3; - 1} \right)\).
\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall t \in \left( { - 3; - 1} \right)\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} g\left( t \right) = g\left( { - 1} \right) = 2f\left( { - 1} \right) + \dfrac{{19}}{{12}} = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right)\).
Vậy để bất phương trình \(g\left( x \right) > m\,\,\forall x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì \(m \le 2f\left( { - 1} \right) + \dfrac{{19}}{{12}}\).
Chọn C.