Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn

Dancarol

2 năm trước

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.\(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 3\sqrt 3 - 4\)
B.\(F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C.\(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \)
D.\(F\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 3 - \sqrt 3 \)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 14 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

lethihonggam2468

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
- Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \) bằng nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\) và phương pháp đổi biến số.
- Khảo sát, lập BBT và tìm GTLN của hàm số \(F\left( x \right)\).
- Giải phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} F\left( x \right) = \sqrt 3 \) tìm \(C\), suy ra hàm số \(F\left( x \right)\) hoàn chỉnh.
- Tính các đáp án và chọn đáp án đúng.
Giải chi tiết:Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \) \( = 2\int {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = 2{I_1} + \cot x + C\).
Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow dt = \cos dx\).
Khi đó ta có: \({I_1} = \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = - \dfrac{1}{t} + C = \dfrac{{ - 1}}{{\sin x}} + C\).
Do đó \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + C\).
Ta có: \(F'\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).
Cho \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(\) nên \(x = \dfrac{\pi }{3}\). Ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(F\left( x \right)\) đạt GTLN tại \(x = \dfrac{\pi }{3}\).
\( \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\sin \dfrac{\pi }{3}}} + \cot \dfrac{\pi }{3} + C = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + C = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow C = 2\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + 2\sqrt 3 \).
Vậy \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = - \dfrac{2}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} + \cot \dfrac{\pi }{6} + 2\sqrt 3 \) \( = - 4 + \sqrt 3 + 2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 - 4\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x - m - \sqrt {9 - {x^2}} = 0\) có đúng 1 nghiệm?
A.\(m \in \left( { - 3;3} \right]\)
B.\(m \in \left[ { - 3;3} \right] \cup \left\{ { - 3\sqrt 2 } \right\}\)
C.\(m \in \left[ {0;3} \right]\)
D.\(m = -3\sqrt 2 \)

Cho \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(\ln \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{{2\ln a + \ln b}}{3}\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.\({a^3} + {b^3} = 8{a^2}b - a{b^2}\)
B.
C.\({a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2}b - a{b^2}} \right)\)
D.\({a^3} + {b^3} = 3\left( {8{a^2}b - a{b^2}} \right)\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Khi đó số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
A.\(3\)
B.\(2\)
C.\(4\)
D.\(1\)

Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2; - 2;1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là:
A.\(\left( {2;0;1} \right)\)
B.\(\left( {2; - 2;0} \right)\)
C.\(\left( {0; - 2;1} \right)\)
D.\(\left( {0;0;1} \right)\)

Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {{a^4}} \right)\) bằng:
A.\(4 + {\log _3}a\)
B.\(\dfrac{1}{4} + {\log _3}a\)
C.\(4{\log _3}a\)
D.\(\dfrac{1}{4}{\log _3}a\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng nào sau đây nhận \(\overrightarrow n \left( {1;2;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến?
A.\(x - 2y + 3z + 1 = 0\)
B.\(2x + 4y + 6z + 1 = 0\)
C.\(2x - 4z + 6 = 0\)
D.\(x + 2y - 3z - 1 = 0\)

Dãy chất đều làm mất màu dung dịch brom?
A.C2H4 , C6H6
B.C2H2 , CH4
C.C2H4 , CH4
D.C2H4 , C2H2

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đường thẳng \(\left( \Delta \right):\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\) không đi qua điểm nào dưới đây?
A.\(A\left( { - 1;2;0} \right)\)
B.\(B\left( { - 1; - 3;1} \right)\)
C.\(C\left( {3; - 1; - 1} \right)\)
D.\(D\left( {1; - 2;0} \right)\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng:
A.\(\sqrt 2 \)
B.\(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
C.\(2\)
D.\(2\sqrt 2 \)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
A.\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\sqrt 2 \)
B.\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2 \)
C.\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 \)
D.\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến