Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $\alpha$. Khi đó $\tan \alpha$ bằng:
A.$\sqrt 2$
B.$\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$
C.$2$
D.$2\sqrt 2$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}$ trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$.
A.$\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\sqrt 2$
B.$\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2$
C.$\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2$
D.$\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2$

Cho hàm số $y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + a} \right|$. Gọi $M,\,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$. Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thuộc $\left[ {0;100} \right]$ sao cho $M \le 2m?$
A.$36$
B.$37$
C.$40$
D.$38$

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số chọn được có tổng các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng hai lần chữ số hàng chục là:
A.$\dfrac{5}{{81}}$
B.
C.$\dfrac{5}{{162}}$
D.$\dfrac{2}{{81}}$

Cho hình nón có chiều cao bằng $3$. Một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết góc giữa đường thẳng chứa trục của hình nón và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là ${45^0}$. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
A.$5\sqrt {24} \pi$
B.$15\sqrt {25} \pi$
C.$45\pi$
D.$15\pi$

Cho các số $a,\,\,b > 0$ thỏa mãn ${\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)$. Giá trị $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}$ bằng:
A.$18$
B.$45$
C.$27$
D.$36$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right) = 1$ và $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}$ với $x \ge 0$. Khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ bằng:
A.$\sqrt {32}  - \sqrt {12}  - 1$
B.$\dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2$
C.$\sqrt {32}  + \sqrt {12}  + 1$
D.$\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{8}{3}\sqrt 2$

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc, $OA = OB = a$, $OC = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM$ và $AC$ bằng:
A.$\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}$
B.$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$
C.$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$
D.$\dfrac{{2a}}{3}$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{2x - m}}{{x - 1}}$ đồng biến trên các khoảng xác định của nó?
A.$m <  - 2$
B.$m >  - 2$
C.$m > 2$
D.$m < 2$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2;0;1} \right)$, $B\left( { - 1;4;3} \right)$ và $C\left( {m;2m - 3;1} \right)$. Tìm $m$ để tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
A.$- 7$
B.$4$
C.$7$
D.$- 4$