Cho các số \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)\). Giá trị \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\) bằng:
A.\(18\)
B.\(45\)
C.\(27\)
D.\(36\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}\) với \(x \ge 0\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A.\(\sqrt {32}  - \sqrt {12}  - 1\)
B.\(\dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \)
C.\(\sqrt {32}  + \sqrt {12}  + 1\)
D.\(\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \)

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc, \(OA = OB = a\), \(OC = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(OM\) và \(AC\) bằng:
A.\(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
D.\(\dfrac{{2a}}{3}\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{2x - m}}{{x - 1}}\) đồng biến trên các khoảng xác định của nó?
A.\(m <  - 2\)
B.\(m >  - 2\)
C.\(m > 2\)
D.\(m < 2\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;0;1} \right)\), \(B\left( { - 1;4;3} \right)\) và \(C\left( {m;2m - 3;1} \right)\). Tìm \(m\) để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
A.\( - 7\)
B.\(4\)
C.\(7\)
D.\( - 4\)

Tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 6x + 8}}{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {x - 2} }}\).
A.\(5\)
B.\(2\)
C.\(4\)
D.\(3\)

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A.\(3{a^3}\sqrt 3 \)
B.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
C.\(3{a^3}\sqrt 6 \)
D.\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Cho hình thang cong \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \dfrac{1}{x}\), \(x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 2\) và trục hoành. Đường thẳng \(x = k\,\,\left( {\dfrac{1}{2} < k < 2} \right)\) chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích là \({S_1}\) và \({S_2}\) như hình vẽ dưới đây:
Tìm tất cả các giá trị thực của \(k\) để \({S_1} = 3{S_2}\)
A.\(k = \sqrt 2 \)
B.\(k = 1\)
C.\(k = \dfrac{7}{5}\)
D.\(k = \sqrt 3 \)

Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 4i\) và \({z_2} = 1 - 3i\). Phần ảo của số phức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \) bằng:
A.\(5\)
B.\( - 5i\)
C.\( - 3\)
D.\(3i\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0 - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
A.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\)
B.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 1\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 2\)