Cho các số $a,\,\,b > 0$ thỏa mãn ${\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)$. Giá trị $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}$ bằng:
A.$18$
B.$45$
C.$27$
D.$36$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right) = 1$ và $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }}$ với $x \ge 0$. Khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ bằng:
A.$\sqrt {32}  - \sqrt {12}  - 1$
B.$\dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2$
C.$\sqrt {32}  + \sqrt {12}  + 1$
D.$\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{8}{3}\sqrt 2$

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc, $OA = OB = a$, $OC = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM$ và $AC$ bằng:
A.$\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}$
B.$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$
C.$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$
D.$\dfrac{{2a}}{3}$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{2x - m}}{{x - 1}}$ đồng biến trên các khoảng xác định của nó?
A.$m <  - 2$
B.$m >  - 2$
C.$m > 2$
D.$m < 2$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2;0;1} \right)$, $B\left( { - 1;4;3} \right)$ và $C\left( {m;2m - 3;1} \right)$. Tìm $m$ để tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
A.$- 7$
B.$4$
C.$7$
D.$- 4$

Tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 6x + 8}}{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {x - 2} }}$.
A.$5$
B.$2$
C.$4$
D.$3$

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = 2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A.$3{a^3}\sqrt 3$
B.$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
C.$3{a^3}\sqrt 6$
D.$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

Cho hình thang cong $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y = \dfrac{1}{x}$, $x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 2$ và trục hoành. Đường thẳng $x = k\,\,\left( {\dfrac{1}{2} < k < 2} \right)$ chia $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích là ${S_1}$ và ${S_2}$ như hình vẽ dưới đây:
Tìm tất cả các giá trị thực của $k$ để ${S_1} = 3{S_2}$
A.$k = \sqrt 2$
B.$k = 1$
C.$k = \dfrac{7}{5}$
D.$k = \sqrt 3$

Cho hai số phức ${z_1} = 2 - 4i$ và ${z_2} = 1 - 3i$. Phần ảo của số phức ${z_1} + i\overline {{z_2}}$ bằng:
A.$5$
B.$- 5i$
C.$- 3$
D.$3i$

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;0 - 4} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:
A.${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4$
B.${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16$
C.${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 1$
D.${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 2$