Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Một mặt phẳng (α) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết góc giữa đường thẳng chứa trục của hình nón và mặt phẳng (α) là 450. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng: A.524π B.1525π C.45π D.15π
Phương pháp giải: - Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi (α) là tam giác đều SAB, I là tâm đáy, M là trung điểm của AB. - Xác định góc giữa SI và (SAB) là góc giữa SI và hình chiếu của SI lên (SAB). - Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và định lí Pytago tính bán kính đáy hình nón. - Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là V=31πr2h. Giải chi tiết: Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi (α) là tam giác đều SAB, I là tâm đáy, M là trung điểm của AB. Ta có: {AB⊥IMAB⊥SI⇒AB⊥(SIM)⇒AB⊥SM. Trong (SIM) kẻ IH⊥SM(H∈SM) ta có: {IH⊥SMIH⊥AB(AB⊥(SIM))⇒IH⊥(SAB). Do đó SH là hình chiếu của SI lên (SAB). ⇒∠(SI;(SAB))=∠(SI;SH)=∠(SI;SM)=∠ISM=450. Suy ra tam giác .. vuông cân tại I. ⇒IM=SI=3,SM=32. Vì SM là chiều cao của tam giác đều SAB⇒SM=2AB3⇔32=2AB3⇔AB=26. ⇒MA=MB=21AB=6. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AMI có: IA=IM2+MA2=32+(6)2=15. ⇒ Bán kính đáy hình nón là R=IA=15. Vậy thể tích khối nón là V=31π.IA2.SI=31π.(15)2.3=15π. Chọn D.