Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits

thanhlamla87

2 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
A.\(I = 2\)
B.\(I = 6\)
C.\(I = 4\)
D.\(I = 10\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 15 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenminhtam56

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt x \) đối với tích phân \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) và đặt \(u = \sin x\) đối với tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \).
- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \).
Giải chi tiết:Xét tích phân: \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{2\sqrt x }} \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 9 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).
Khi đó ta có \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 4\).
\( \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 2 \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\).
Xét tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \).
Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 2\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).
Vậy \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2 + 2 = 4.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

a. Nêu tên của các cuộc khởi nghĩa lớn trong phong trào Cần vương?
A.
B.
C.
D.

Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = 6\) là:
A.\(x = 6\)
B.\(x = 3\)
C.\(x = \dfrac{{10}}{3}\)
D.\(x = 5\)

Cho khối lập phương có cạnh bằng a. Chia khối lập phương thành 64 khối lập phương nhỏ có thể tích bằng nhau. Độ dài cạnh của mỗi khối lập phương nhỏ bằng:
A.\(\dfrac{a}{4}\)
B.\(\dfrac{a}{8}\)
C.\(\dfrac{a}{{16}}\)
D.\(\dfrac{a}{{64}}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( { - \infty ;2} \right)\)
B.\(\left( { - 3;2} \right)\)
C.\(\left( {2;3} \right)\)
D.\(\left( {2;6} \right)\)

Cho hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là \(2\alpha \) với \({45^0} < \alpha < {90^0}\). Tính diện tích xung quanh của hình nón theo R và \(\alpha \).
A.\(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}\)
B.\(\dfrac{{2\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}\)
C.\(\dfrac{{\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}\)
D.\(\dfrac{{\pi {a^2}}}{{3\sin \alpha }}\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2^n}\) là một cấp số nhân với:
A.Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
B.Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.
C.Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
D.Công bội là 1 và số hạng đầu tiên là 2.

Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 3 học sinh trong đó có cả học sinh nam và nữ?
A.\(1140\)
B.\(2920\)
C.\(1900\)
D.\(900\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và chứa đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;a;b} \right)\). Tính \(a + b\).
A.\(a + b = 2\)
B.\(a + b = 0\)
C.\(a + b = - 3\)
D.\(a + b = 3\)

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất là 7%/năm. Biết rằng nếu không rút ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép). Để người đó lãnh được số tiền 250 triệu thì người đó cần gửi trong khoảng thời gian là ít nhất bao nhiêu năm? (nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền và lãi suất không thay đổi).
A.12 năm
B.15 năm
C.14 năm
D.13 năm

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right|\) là:
A.3
B.1
C.4
D.2

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến