Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trong đoạn \(\left[ 1;e \right]\), biết \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=1,\,\,f(e)=2\). Tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{f'(x)\ln xdx}=?\) A.1 B.0 C.2 D.3
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:\(\begin{align} \int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{f(x)d\ln x}=\left. f(x)\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=1 \\ \Rightarrow f(e)-\int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=1 \\ \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=f(e)-1=2-1=1 \\ \end{align}\) Chọn: A