Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\left( C \right)\). Tìm m để đường thẳng d: \(y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(A\left( {

metalonger

2 năm trước

Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\left( C \right)\). Tìm m để đường thẳng d: \(y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(A\left( { - 1;1} \right)\).
A.\(m = 2\).
B.\(m = 0\).
C.\(m = 1\).
D.\(m = - 1\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 26 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

duclpm2443

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\): \(\frac{x}{{1 - x}} = mx - m - 1,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - m{x^2} + mx + x \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\) (1)
Để \(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' > 0\\m{.1^2} - 2m.1 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0\\1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow m < 0\)
Khi đó, giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1), áp dụng định lsy Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{m}\end{array} \right.\)
Tọa độ giao điểm là: \(A\left( {{x_1};m{x_1} - m - 1} \right),B\left( {{x_2};m{x_2} - m - 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {{x_1} + 1;m{x_1} - m - 2} \right)\\\overrightarrow {AN} = \left( {{x_2} + 1;m{x_2} - m - 2} \right)\end{array} \right.\)
Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{2}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{m{x_1} - m - 1 + m{x_2} - m - 1}}{2} = - 1\end{array} \right.\,\, \Rightarrow I\left( {1; - 1} \right)\)
Ta có: \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IN} } \right)^2} = 2A{I^2} + 2\overrightarrow {AI} .\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + I{M^2} + I{N^2} = 2A{I^2} + \frac{1}{2}M{N^2}\)
Do vậy, \({\left( {A{M^2} + A{N^2}} \right)_{\min }}\) khi và chỉ khi \(M{N_{\min }}\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_2} - {x_1};m{x_2} - m{x_1}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right){{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)\left( {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right)} \)
\( = \sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)\left( {4 - \frac{{4\left( {m + 1} \right)}}{m}} \right)} = \sqrt {\frac{{ - 4\left( {1 + {m^2}} \right)}}{m}} = \sqrt {\frac{4}{{\left( { - m} \right)}} + \left( { - 4m} \right)} \ge \sqrt {2.\sqrt {\frac{4}{{ - m}}.\left( { - 4m} \right)} } = 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow M{N_{\min }} = 2\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \(\frac{4}{{ - m}} = - 4m \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\m = - 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy để \({\left( {A{M^2} + A{N^2}} \right)_{\min }}\) thì \(m = - 1\).
Chọn: D

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC, M là điểm trên cạnh DC. Một mp\(\left( \alpha \right)\) qua M, song song BC và AI. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với BD và AD. Xét các mệnh đề sau:
(1) MP // BC (2) MQ // AC (3) PQ // AI (4) (MPQ) // (ABC)
Số mệnh đề đúng là:
A.1
B.3
C.2
D.4

Áp dụng bằng số: cho Cn = 4200 J/kg.độ; Ck = 380 J/kg.độ; T1 = 4 phút; ∆t1 = 9,20C; T2 = 4 phút; ∆t2 = 16,20C, hãy tính Cx.
A.3240 (J/kg.độ)
B.2221 (J/kg.độ)
C.2250 (J/kg.độ)
D.3650 (J/kg.độ)

Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
A.\(\min P = 5\).
B.\(\min P = \frac{{115}}{3}\).
C.\(\min P = \frac{7}{3}\).
D.\(\min P = \frac{{17}}{3}\).

Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất \({V_{\min }}\) của khối tứ diện SAMN.
A.\({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\).
B.\({V_{\min }} = \frac{4}{9}\).
C.\({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{18}}\).
D.\({V_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{36}}\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB = a, \(\angle BAD = 60^\circ \), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Tính thế tích khối chóp S.ABCD.
A.\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).
B.\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).
C.\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{48}}\).
D.\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).

Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 70cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
A.\(40cm\).
B.\(10\sqrt 2 cm\).
C.\(70\sqrt 2 cm\).
D.\(35cm\).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}\) có dạng:
A.
B.
C.
D.

Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.1
B.3
C.4
D.2

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây:
Chọn khẳng định đúng:
A.Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
B.Hàm số liên tục trên \(\left( {1;4} \right)\).
C.Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
D.Hàm số liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lập biểu thức tính nhiệt dung riêng Cx, cho biết nhiệt dung riêng của nước và của nhiệt lượng kế là Cn và Ck.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến