Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+(m-2)x-\frac{1}{3}(1)$ với m là tham số thực. Điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 là? A. $m=2,m=-3.$ B. $m=3,m=-2.$ C. $m=1,m=2.$ D. $m=-1,m=2.$
Đáp án đúng: A Ta có ${{y}^{'}}=-{{x}^{2}}+2mx+m-2=>{{\Delta }^{'}}={{m}^{2}}+m-2.$ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi phương trình${{y}^{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt${{x}_{1}},{{x}_{2}}:\left| {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right|=4.$ Khi đó$\left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}>0\\\left| {{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \right|=4\end{array} \right.<=>\left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}+m-2>0\\{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=16\end{array} \right.<=>\left[ \begin{array}{l}m=2\\m=-3\end{array} \right..$