$a)$Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình:
$x^2=x+m\\ \Leftrightarrow x^2-x-m=0(*)$
Để $2$ hàm số cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt thì phương trình $(*)$ phải có $2$ nghiệm phân biệt
$\Rightarrow \Delta >0\\ \Leftrightarrow 1+4m>0\\ \Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}$
Vậy với $m>-\dfrac{1}{4}$ thì $y=x^2$ và $y=x+m$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt $A(x_1;x_1+m);B(x_2;x_2+m)$(Với $x_1;x_2$ là $2$ nghiệm của phương trình $(*))$
$b)Vi-et:x_1+x_2=1;x_1x_2=-m\\ AB=3\sqrt{2}\\ AB^2=18=(x_1-x_2)^2+(x_1+m-x_2-m)^2\\ =2(x_1-x_2)^2\\ =2\left((x_1+x^2)^2-4x_1x_2\right)\\ =2(1^2+4m)\\ =2(1+4m)\\ \Rightarrow 1+4m=9\\ \Leftrightarrow m=2$
