Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Tìm hoảnh độ giao điểm giữa 2 đồ thị, suy ra tọa độ của B,C.
- Tính độ dài đoạn BC từ đó suy ra diện tích tam giác MBC, suy ra giá trị của m.
Giải chi tiết:Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 3mx + 2 =  - x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3m + 1} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\\{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 1 = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}\)
Để \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3m - 1 > 0\\3m + 1
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m > 0\\m
e  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\m
e  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{3}} \right\}\end{array}\)
Gọi \(B\left( {b; - b + 2} \right);C\left( {c; - c + 2} \right) \in d\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {2{{\left( {b - c} \right)}^2}} \)
Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b + c =  - 2\left( {m + 1} \right)\\bc = 3m + 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.d\left( {M;d} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 6  = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{{\left( {b - c} \right)}^2}} .\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} = 24\\ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} - 4bc = 24\\ \Rightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 4\left( {3m + 1} \right) = 24\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Chọn C.