Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Vì tiếp tuyến song song nên hệ số góc bằng nhau \(\left( {{k_{{x_A}}} = {k_{{x_B}}}} \right)\)
Tìm tọa độ hai điểm \(A,\,\,B\,\, \Rightarrow \,\,{x_A},\,\,{x_B}.\)
Giải chi tiết:Ta có \(y' = 3{x^2} - 3.\) Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\) là \({k_A} = 3x_A^2 - 3;\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) là \({k_B} = 3x_B^2 - 3\)
Theo bài ra, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} > {x_B}\\{k_A} = {k_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,3x_A^2 - 3 = 3x_B^2 - 3 \Leftrightarrow \,\,\left( {{x_A} - {x_B}} \right)\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = 0 \Leftrightarrow \,\,{x_B} = - \,{x_A}\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}{y_A} = x_A^3 - 3{x_A} + 1\\{y_B} = x_B^3 - 3{x_B} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{y_A} = x_A^3 - 3{x_A} + 1\\{y_B} = - \,x_A^3 + 3{x_A} + 1\end{array} \right. \Rightarrow \,\,{y_B} - {y_A} = - \,2x_A^3 + 6{x_A}\)
Khi đó \(A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} = 4x_A^2 + 4{\left( {x_A^3 - 3{x_A}} \right)^2}\)
Mà theo giả thiết \(AB = 6\sqrt {37} \) \( \to \) \(x_A^2 + {\left( {x_A^3 - 3{x_A}} \right)^2} = 333 \Leftrightarrow \,\,x_A^2\left[ {{{\left( {x_A^2 - 3} \right)}^2} + 1} \right] = 333\)
Đặt \(t = x_A^2\) \( \Rightarrow \,\,t\left( {{t^2} - 6t + 10} \right) = 333 \Rightarrow \,\,t = 9\) nên \({x_A} = 3 \Rightarrow \,\,{x_B} = - \,3.\) Vậy \(S = 15\)
Chọn A.
