Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Điều kiện để hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc là hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm
Giải chi tiết:Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {a;2} \right)\) với hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - a} \right) + 2\)
Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) nếu hệ sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 3 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x = k\left( {x - a} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right),\) ta được \({x^3} - 3x = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow \,\,{x^3} - 3x - 2 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right)\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\left[ {2{x^2} - \left( {3a + 2} \right)x + 3a + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = - \,1\\g\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {3a + 2} \right)x + 3a + 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Để qua \(A\) kẻ được ba tiếp tuyến tới \(\left( C \right)\) thì \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - \,1\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - \,1} \right)
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3a + 2} \right)^2} - 8\left( {3a + 2} \right) > 0\\2 + 3a + 2 + 3a + 2
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}a > 2\\ - \,1
e a < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Kết hợp với \(a \in \left[ { - \,10;10} \right]\) và \(a \in \mathbb{Z},\) ta được 7 giá trị nguyên cần tìm
Chọn D.
