- Tìm điểm \({M_0} \in \left( {{C_m}} \right)\) cố định, dự đoán \({M_0}\) là tiếp điểm.- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\).- Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm được luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_m}} \right)\) \(\forall m \ne 0\).- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).Giải chi tiết:Ta có \(y = \dfrac{{\left( {2m - 1} \right)x - m}}{{x + m}} = \dfrac{{2mx - x - m}}{{x + m}} = \dfrac{{2mx}}{{x + m}} - 1\).\( \Rightarrow \forall m \ne 0\) thì đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\). Ta dự đoán \({M_0}\) là tiếp điểm.Khi đó ta có: Đường thẳng \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\).Ta có: \(y' = \dfrac{{2{m^2}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 2\).\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \({M_0}\left( {0; - 1} \right)\) là \(y = 2\left( {x - 0} \right) - 1 = 2x - 1\).Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{2mx}}{{x + m}} - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow 2mx = 2{x^2} + 2mx \Leftrightarrow 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (nghiệm kép).Do đó đường thẳng \(y = 2x - 1\) luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_m}} \right)\) (thỏa mãn).Vậy \(a = 2,\,\,b = - 1 \Rightarrow a + b = 1\).Chọn B
