Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm M: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (d).
- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
- Thay (2) vào (1), tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x
e - 1\).
Phương trình đường thẳng d đi qua M và có hệ số góc k là: \(y = k\left( {x - m} \right) - 2\).
Để d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} = k\left( {x - m} \right) - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) - 2\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = x - m - 2{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 = x - m - 2{x^2} - 4x - 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x + m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - 4\left( {m + 3} \right) > 0\\4 - 6 + m + 3
e 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m - 3 > 0\\m + 1
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{3}{4}\\m
e - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Chọn D.
