a) $y'=3x^2-4x+3m$
Để hàm số đồng biến trên $R$ thì $y'≥0$
$↔ 3m≥4x-3x^2$
$→ 3m≥Max_{(4x-3x^2)}$
Xét hàm số $g(x)=4x-3x^2$, ta có:
$g'(x)=4-6x → g'(x)=0 ↔ x=\dfrac{2}{3}$
$→Max_{g(x)}=g(\dfrac{2}{3})=\dfrac{4}{3}$
$→ 3m≥\dfrac{4}{3}$
$↔ m≥\dfrac{4}{9}$
Vậy $m≥\dfrac{4}{9}$ là giá trị cần tìm.
b) Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$↔ 4-9m>0$
$↔ m<\dfrac{4}{9}$
(Cách tìm đường thẳng đi qua $2$ điểm cực trị nhanh: Lấy $f(x)$ chia cho $f'(x)$, phần dư chính là đường thẳng cần tìm)
Đường thẳng đi qua $2$ điểm cực trị là: $y=(2m-\dfrac{8}{9})x+\dfrac{2}{3}m-1$ $(d)$
Đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y=2x-3$ khi và chỉ khi:
$2m-\dfrac{8}{9}=2$ và $(\dfrac{2}{3}m-1)\neq-3$
$→ m=\dfrac{13}{9}$ (Loại vì $m<\dfrac{4}{9}$)
Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn đề bài.
