Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{9}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }

hainguyen2480

2 năm trước

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{9}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A.\(\dfrac{1}{\pi }\)
B.\(\dfrac{4}{\pi }\)
C.\(\dfrac{6}{\pi }\)
D.\(\dfrac{2}{\pi }\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ducmanh9128

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\cos \dfrac{{\pi x}}{2}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \left. {\cos \dfrac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 + \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{2}f\left( 1 \right) - \cos 0f\left( 0 \right) + \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Xét \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right) + k\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)}^2}dx} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right)k\sin \dfrac{{\pi x}}{2} + {k^2}{{\sin }^2}\dfrac{{\pi x}}{2}} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} + 2k\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} + {k^2}\int\limits_0^1 {{{\sin }^2}\dfrac{{\pi x}}{2}dx} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} + 2k\dfrac{3}{2} + {k^2}.\dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {k^2} + 6k + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {k + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right) - 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right) = dx} = \int\limits_0^1 {3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \left. {\dfrac{{ - 3\cos \dfrac{{\pi x}}{2}}}{{\dfrac{\pi }{2}}}} \right|_0^1 = - \dfrac{6}{\pi }\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} - \cos 0} \right) = \dfrac{6}{\pi }\end{array}\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\). Tính \(P = - a + 4b\) khi \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A.\(P = 7\)
B.\(P = 6\)
C.\(P = 5\)
D.\(P = 4\)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).
A.\(\left( {0; + \infty } \right)\)
B.\(\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
C.\(\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right]\)
D.\(\left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\); \({d_2} = \dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{2}\); \({d_3}:\,\,\dfrac{{x + 3}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 5}}{8}\). Đườn gthẳng song song với \({d_3}\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:
A.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 1}}{8}\)
B.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z - 1}}{8}\)
C.\(\dfrac{{x + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{z}{8}\)
D.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{z}{8}\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 5} \right){9^x} + \left( {2m - 2} \right){6^x} + \left( {1 - m} \right){4^x} = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
A.4
B.2
C.3
D.1

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;1} \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\). Tổng giá trị tất cả các phần tử của \(S\) bằng:
A.\(5\)
B.\(\dfrac{{40}}{9}\)
C.\(\dfrac{{16}}{9}\)
D.\(\dfrac{{20}}{3}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\). Bán kính của \(\left( S \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{5}{3}\)
B.\(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {30} }}{3}\)

Điện năng được truyền từ một trạm tăng áp đến nơi tiêu thụ bằng đường dây tải điện một pha. Biết máy biến áp của trạm tăng áp là lý tưởng, có tỉ số giữa số vòng dây của cuộn thứ cấp và số vòng dây của cuộn sơ cấp là k. Coi chỉ có hao phí trên đường dây là đáng kể và điện áp cùng pha với dòng điện. Khi k = 10 thì hiệu suất truyền tải là 80 %. Khi công suất tiêu thụ điện tăng 20 % và k = 18 thì hiệu suất truyền tải gần giá trị nào nhất?
A.84 %
B.98%
C.94%

D.88%

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy của hình trụ theo hai dây cung song song \(MN,\,\,M'N'\) thỏa mãn \(MN = M'N' = 6\). Biết rằng tứ giác \(MNN'M'\) có diện tích bằng 60. Tính chiều cao \(h\) của hình trụ.
A.\(h = 4\sqrt 5 \)
B.\(h = 6\sqrt 5 \)
C.\(h = 4\sqrt 2 \)
D.\(h = 6\sqrt 2 \)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {6m + 5} \right)x - 1\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)?
A.1
B.0
C.3
D.2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng :
A.\( - 11\)
B.\( - 1\)
C.\( - 10\)
D.\( - 26\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến