Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\)  đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.
Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\)  đổi dấu từ âm sang dương.
Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\)  đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)Giải chi tiết:Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)  ta có:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến  trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 1\) và đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)
Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3} \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)'f'\left( {{x^2} - 3} \right)\) \( = 2xf'\left( {{x^2} - 3} \right)\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2xf'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3 =  - 2\\{x^2} - 3 = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\\x =  \pm 2\end{array} \right.\)
Với \(x = 3\) ta có: \(g'\left( x \right) = 6f'\left( 6 \right) > 0\)
Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị \( \Rightarrow I\) sai.
Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\) \( \Rightarrow II\) đúng.
Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 2\) \( \Rightarrow III\) sai.
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow IV\) sai.
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow V\) sai.
Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.
Chọn D.