Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Tính \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
- Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \), sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
- Lấy tích phân từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế của \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\).
- Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} \) theo \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \), từ đó tính \(I\).Giải chi tiết:Có \(f\left( 0 \right) = 0;\,\,\,f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\)
Thay \(x = 0\) ta có: \(f\left( 0 \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\, \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \left. {\left( {xf\left( x \right)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).
Lấy tích phân từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế của \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\) ta được:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x\cos x} \right)dx = \dfrac{1}{2}} \).
Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx}  =  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)d\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)}  =  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).
\( \Rightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{4}\).
Vậy \(I =  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  =  - \dfrac{1}{4}\).
Chọn D