Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm.Giải chi tiết:Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + m + \dfrac{{24}}{x}\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m + \dfrac{{24}}{x} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le 3{x^2} - 6x + \dfrac{{24}}{x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}\)
Đặt \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + \dfrac{{24}}{x}\,\) \( \Rightarrow - m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 6x - 6 - \dfrac{{24}}{{{x^2}}} = 6.\dfrac{{{x^3} - {x^2} - 4}}{{{x^2}}} = \dfrac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{{x^2}}}\\Cho\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = 12\), do đó \( - m \le 12 \Leftrightarrow m \ge - 12\).
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { - 12;2021} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\).
Vậy có tất cả \(2021 - \left( { - 12} \right) + 1 = 2034\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A
