Đáp án:
$m = 2$
Giải thích các bước giải:
$(d): y = (m-2)x + 4$
$+)\quad (d)$ cắt $Ox$ tại $A\left(\dfrac{4}{2-m};0\right)$
$\to OA = \left|\dfrac{4}{2-m}\right|$
$+)\quad (d)$ cắt $Oy$ tại $B(0;4)$
$\to OB = 4$
Từ $O$ kẻ $OH\perp (d)\quad (H\in (d))$
$\to OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆OAB$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:
$\dfrac{1}{OH^2} =\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2 + OB^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{16\cdot\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}{16+\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}$
$\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{1}{1 +\dfrac{1}{(2-m)^2}}$
$\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{(2-m)^2}{(2-m)^2 +1}$
$\to OH^2 = \dfrac{16}{(2-m)^2 + 1}$
$\to OH^2 \leq \dfrac{16}{0^2 + 1} = 16$
$\to OH \leq 4$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow 2-m = 0\Leftrightarrow m = 2$
Vậy $\max OH = 4 \Leftrightarrow m = 2$
