Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {0;m} \right)\) thuộc trục tung.
+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;m} \right)\) và có hệ số góc \(k\).
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) phải có nghiệm.
+ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Tìm điều kiện để phương trình đó có 1 nghiệm.
Giải chi tiết:+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
+ Gọi \(M\left( {0;m} \right)\) thuộc trục tung.
+ PTĐT \(d\) đi qua \(M\left( {0;m} \right)\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y = kx + m\)
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình sau phải có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = kx + m\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.x + m\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 =  - 2x + m{\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 =  - 2x + m{x^2} - 2mx + m\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {2m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Để kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) ta cần \(\left( 3 \right)\) có duy nhất 1 nghiệm. Khi đó \(\left( 3 \right)\) có 3 trường hợp thỏa mãn:
+ Có nghiệm duy nhất khác 1.
+ Phải có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm \(x = 1\)
+ Phải có nghiệm kép khác \(1\)
Đặt \(g\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {2m + 2} \right)x + m + 1\)
Yêu cầu bài toán
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\ - 4x + 2 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1
e 0\\\Delta {'_g} > 0\\g\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1
e 0\\\Delta {'_g} = 0\\g\left( 1 \right)
e 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 1 - 2m - 2 + m + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\m - 1 - 2m - 2 + m + 1
e 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\2m + 2 > 0\\ - 2 = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\2m + 2 = 0\\ - 2
e 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m
e 1\\m =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Kết luận: Tìm được 2 điểm thỏa mãn: \({M_1}\left( {0;1} \right);\,\,{M_2}\left( {0; - 1} \right).\)