Lời giải:
a) Gọi $M$ là giao điểm của $CK$ và $AD$
Ta có:
$\widehat{KBC} + \widehat{KCB} = 90^\circ$
$\widehat{HCM} + \widehat{HMC} = 90^\circ$
$\widehat{KCB} = \widehat{HMC}$ (đồng vị)
$\Rightarrow \widehat{KBC} = \widehat{HCM}$
$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{HCK}$ (hai góc kề bù tương ứng)
Xét $\triangle KBC$ và $\triangle HDC$ có:
$\begin{cases}\widehat{K} = \widehat{H} = 90^\circ\\\widehat{KBC} = \widehat{HDC}\quad (=\widehat{BAD})\end{cases}$
Do đó $\triangle KBC \backsim \triangle HDC\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CK}{CH} = \dfrac{CB}{CD}$
mà $CD = AB$
nên $\dfrac{CK}{CH} = \dfrac{CB}{AB}$
hay $\dfrac{CK}{BC} = \dfrac{CH}{AB}$
Xét $\triangle CKH$ và $\triangle BCA$ có:
$\begin{cases}\widehat{HCK} = \widehat{ABC}\quad (cmt)\\\dfrac{CK}{BC} = \dfrac{CH}{AB}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó $\triangle CKH\backsim \triangle BCA\ (g.g)$
b) Ta có:
$\triangle CKH\backsim \triangle BCA$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{HK}{AC} = \dfrac{CK}{BC}$
$\Rightarrow HK = AC\cdot \dfrac{CK}{BC}$
$\Rightarrow HK = AC\cdot \cos\widehat{KCB}$
$\Rightarrow HK = AC\cdot \sin\widehat{KBC}$
$\Rightarrow HK = AC\cdot \sin\widehat{BAD}$
c) Ta có:
$\widehat{ABC} = 120^\circ$
$\Rightarrow \widehat{KBC} = \widehat{HDC} = 60^\circ$
Xét $\triangle KBC$ vuông tại $K$ có $\widehat{KBC} = 60^\circ$
$\Rightarrow KBC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$
$\Rightarrow \begin{cases}KB = \dfrac12BC = \dfrac12\cdot 10 = 5\ cm\\KC = BC\cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 10\cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3\ cm\end{cases}$
Xét $\triangle KDC$ vuông tại $H$ có $\widehat{HDC} = 60^\circ$
$\Rightarrow HDC$ là nửa tam giác đều cạnh $CD$
$\Rightarrow \begin{cases}HD = \dfrac12CD = \dfrac12\cdot 8 = 4\ cm\\HC = CD\cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 8\cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3\ cm\end{cases}$
Khi đó:
$\quad S_{AKCH} = S_{AKCD} + S_{HDC}$
$\Leftrightarrow S_{AKCH} = \dfrac12(AK + CD)\cdot CK + \dfrac12HD\cdot HC$
$\Leftrightarrow S_{AKCH} = \dfrac12(8 + 5 + 8)\cdot 5\sqrt3 + \dfrac12\cdot 4\cdot 4\sqrt3$
$\Leftrightarrow S_{AKCH} = \dfrac{121\sqrt3}{2}\ cm^2$
