Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\)  là hình chiếu của \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {60^0}\).
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5a.\)
Xét \({\Delta _v}SAC\) ta có: \(SA = AC.\tan \angle SCA = 5a.\tan {60^0} = 5a\sqrt 3 .\)
Vậy  \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.AB.AD = \dfrac{1}{3}.5a\sqrt 3 .3a.4a = 20{a^3}\sqrt 3 \) (đvtt).
b) Gọi \(I\)  là trung điểm của \(SC\). Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)
\(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(I\)  là trung điểm \(SC\) nên \(IA = IS = IC\) (Định lí đường trung tuyến).
\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD.\)
\(\Delta SCD\) vuông tại \(D\), có \(I\)  là trung điểm \(SC\) nên \(IS = IC = ID\) (Định lí đường trung tuyến).
Suy ra \(IA = IS = IC = ID\) hay \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ACD\).
Do đó: \(R = IC = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}}  = \dfrac{1}{2}.10a = 5a.\)
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ACD\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {5a} \right)^2} = 100\pi {a^2}.\)
c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(DM\) cắt \(AD,\,\,BC\) lần lượt tại \(P,\,\,Q.\)
Ta có \(DM\parallel PQ \Rightarrow DM\parallel \left( {SPQ} \right) \supset SO\).
\( \Rightarrow d\left( {SO;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SPQ} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SPQ} \right)} \right)\).
Xét tam giác \(BDM\) có:
\(OQ\parallel DM\)
\(O\) là trung điểm \(BD\).
\( \Rightarrow Q\) là trung điểm \(BM\) (Định lí đường trung bình của tam giác).
\( \Rightarrow BQ = QM = PD = \dfrac{1}{4}BC = a \Rightarrow AP = 3a\).
Ta có: \(AD \cap \left( {SPQ} \right) = P \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SPQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SPQ} \right)} \right)}} = \dfrac{{AP}}{{DP}} = 3\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) qua \(A\) kẻ \(AH \bot PQ\,\,\,\left( {H \in PQ} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}PQ \bot AH\\PQ \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow PQ \bot AK\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot PQ\\AK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SPQ} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SPQ} \right)} \right) = AK \Rightarrow d\left( {A;\left( {SPQ} \right)} \right) = AK\).
Do \(AP = 3a = 3PQ\) nên khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SPQ} \right)\) gấp 3 lần khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SPQ} \right)\)
Hay  
Ta tính độ dài đoạn  như sau:\({d_{\left( {SO,DM} \right)}} = {d_{\left( {D,\left( {SPQ} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}{d_{\left( {A,\left( {SPQ} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}AK\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta APQ}} = \dfrac{1}{2}d\left( {Q;AP} \right).AP = \dfrac{1}{2}AB.AP = \dfrac{1}{2}.3a.3a = \dfrac{9}{2}{a^2}\\PQ = \sqrt {C{D^2} + {{\left( {AD - PD - BQ} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \sqrt {13} a\\{S_{\Delta APQ}} = \dfrac{1}{2}AH.PQ \Rightarrow AH = \dfrac{{9a\sqrt {13} }}{{13}}\end{array}\)
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) và có đường cao \(AK\) nên \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{9a\sqrt {13} }}{{13}}} \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{45\sqrt {22} a}}{{88}}\)
\( \Rightarrow d\left( {DM;SO} \right) = \dfrac{1}{3}AK = \dfrac{{15\sqrt {22} }}{{88}}a\).
Vậy khoảng cách giữa \(DM\) và \(SO\) bằng \(\dfrac{{15\sqrt {22} a}}{{88}}.\)