Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
2) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).
Trong tam giác vuông \(ABC\) có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2\sqrt 2 a\).
Trong tam giác vuông \(SAC\) có:
\(\cos \angle SCA = \dfrac{{AC}}{{SC}} = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \angle SCA \approx {26^0}34'\).
3) Xét tứ giác \(ABCE\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AE//BC\\AE = BC = 2a\end{array} \right. \Rightarrow ABCE\) là hình bình hành.
Lại có \(\angle ABC = {90^0};\,\,\,AB = BC = 2a \Rightarrow ABCE\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BE\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\BE \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(BE \subset \left( {SBE} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBE} \right)\).
4) Ta có: \(AE \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \dfrac{{d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ED}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\).
Xét tam giác \(ACD\) có \(CE = \dfrac{1}{2}AD = 2a \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C \Rightarrow CD \bot AC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông \(SAC:\,\,SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = a\sqrt 2 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có:
\(AH = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .2\sqrt 2 a}}{{a\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt {10} a}}{5}\).
Vậy \(d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\).