1. \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên \((SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA=60^{\circ}\)
Tam giác ABC có AB = BC = a, \(ABC=60^{\circ},\) nên tam giác ABC đều => AC = a
Trong tam giác SAC vuông tại A nên \(SA=AC.\tan 60^{\circ}=a\sqrt{3}\)
Diện tích ABCD là \(S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2.\frac{1}{2}AB.BC\sin 60^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
Thể tích S.ABCD là \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{a^{3}}{2}\)
2. Kẻ \(AH\perp CD(H \in CD),\) tam giác ACD đều cạnh a, đường cao \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Trong tam giác vuông SAH có \(SH=\sqrt{SA^{2}+HA^{2}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)
Do \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD,CD\perp AH\Rightarrow CD\perp SH\)
Diện tích tam giác SAD là \(S_{\triangle SCD}=\frac{1}{2}SH.CD=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}\)
\(V_{S.ACD}=\frac{d(A,(SCD)).S_{\triangle SCD}}{3}=\frac{1}{3}SA.S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow d(A,(SCD))=\frac{3a^{3}}{4S_{\triangle SAD}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
Do AB // (SCD) nên \(d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
3. Do CA = CB = CD = a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Kẻ Cx / SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD.
Thật vậy, \(Cx//SA\Rightarrow Cx\perp (ABD)\Rightarrow OC\perp (ABD)\) mà CA = CB = CD nên OA = OB = OD. Mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA = OS => OA = OB = OD = OS => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r = OA
Dễ thấy MACO là hình chữ nhật nên \(r=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)
