Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC\).Tính \({\rm{cosin}}\) góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).A.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)B.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)D.\(\dfra

Buikhanhhuyen

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC\).Tính \({\rm{cosin}}\) góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thai225

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Gọi \(AC \cap BD = \left\{ H \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\\AC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\)
Gọi F là trung điểm của BH \( \Rightarrow NF\parallel AC\) (Do \(NF\) là đường trung bình của tam giác \(BCH\)).
Mà \(AC \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow NF \bot \left( {SBD} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(AN \cap BD = \left\{ K \right\}\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAN} \right)\) gọi \(SK \cap MN = \left\{ I \right\}\)
\( \Rightarrow I = MN \cap \left( {SBD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {MN;\left( {SBD} \right)} \right) = \angle \left( {NI;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Ta có: \(FI\) là hình chiếu của \(MI\) lên \(\left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {NI;\left( {SBD} \right)} \right) = \angle \left( {NI;FI} \right) = \angle NIF\).
Xét tam giác \(ABC\) có \(K\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(AN\) và \(BH\) nên \(K\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AMN\), cát tuyến \(SIK\) có:
\(\dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{KA}}{{KN}}.\dfrac{{IN}}{{IM}} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{IN}}{{IM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{IN}}{{IM}} = 1\) \( \Rightarrow IM = IN\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MN\).
Ta có: \(NF = \dfrac{{HC}}{2} = \dfrac{{AC}}{4} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)(Tính chất đường trung bình của tam giác).
Tam giác \(SBC\) đều cạnh \(a\) nên \(SN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Tam giác \(ABN\) vuông tại \(B\) nên áp dụng định lí Pytago ta có:
\(A{N^2} = A{B^2} + B{N^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}.\)
Tam giác \(SAN\) có trung tuyến \(MN\) nên:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = \dfrac{{A{N^2} + S{N^2}}}{2} - \dfrac{{S{A^2}}}{4} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}.\\ \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow NI = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Vì \(FN \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow FN \bot FI \Rightarrow \Delta FNI\) vuông tại \(F\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \angle FIN = \dfrac{{NF}}{{NI}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \cos \angle FIN = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\angle FIN} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), trong đó \(f\left( x \right)\) là một đa thức. Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left( { - 5;5} \right)\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2\left| x \right| + m} \right)\) có 9 điểm cực trị?
A.\(1\)
B.\(4\)
C.\(3\)
D.\(2\)

Một cái túi đựng quà nhỏ có hình dáng như hình vẽ :
Biết \(AB = AD = A'B' = A'D' = 13cm\) , \(CB = CD = C'B' = C'D' = 5cm\) ,\(BD = B'D' = 8cm\), \(AA' = 10cm\) . Biết \(AA'D'D\) và \(AA'B'B\) là các hình chữ nhật. Thể tích chiếc túi gần với kết quả nào nhất?
A.\(399c{m^3}\)
B.\(447c{m^3}\)
C.\(495c{m^3}\)
D.\(1040c{m^3}\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là một số có dạng \(\left( {a\sqrt 2 + b} \right).{e^{c\sqrt 2 + d}}\), trong đó \(a,\,b,\,c,\,d\) là các số nguyên. Tính \(a + b + c + d\).
A.\(4\)
B.\(6\)
C.\(0\)
D.\( - 4\)

Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Tính sin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACB'} \right)\) và \(\left( {BMA'} \right)\).
A.\(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{5}\)
C.\(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)
D.\(\dfrac{2}{5}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} - 3.{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 2\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
A.\(1\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.Vô số

Sục V lít khí CO2 (đktc) vào bình đựng 2 lít dung dịch Ca(OH)2 0,01M, thu được 1 g kết tủa. Xác định V.
A.0,224 hoặc 0,672.
B.0,224 hoặc 0,336.
C.0,336 hoặc 0,672.
D.0,448 hoặc 0,672.

Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) đồng biến trên khoảng nào?
A.\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và\(\left( {1; + \infty } \right)\)
B.\(\left( { - 1;1} \right)\)
C.\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
D.\(\mathbb{R}\)

Tìm tập xác định của hàm số: \(y = {\left( {4x - {x^2}} \right)^{\dfrac{1}{3}}}\).
A.\(D = \left( {0;4} \right)\)
B.\(D = \left[ {0;4} \right]\)
C.\(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
D.\(D = \mathbb{R}\)

Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a \ne 1\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.\({\log _a}b.{\log _a}c = {\log _a}\left( {b + c} \right)\)
B.\({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
C.\({b^{{{\log }_a}c}} = {c^{{{\log }_a}b}}\)
D.\({\log _a}c = \dfrac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B.\(\left( { - 3;1} \right)\)
C.\(\left( { - 2;0} \right)\)
D.\(\left( {0; + \infty } \right)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến