Lời giải:
Vì \(SA\perp (BCD)\) nên:
\(\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{6}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a^3\)
Từ $B$ kẻ đường cao $BM$ xuống mặt phẳng \((SCD)\)
\(\Rightarrow \angle (SB, (SCD))=\angle (SB,SM)=\angle BSM\)
Pitago: \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{6a^2+2a^2}=2\sqrt{2}a\)
\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=\sqrt{6a^2+2a^2}=2\sqrt{2}a\)
\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{6a^2+4a^2}=\sqrt{10}a\)
Sử dụng công thức Herong biết độ dài ba cạnh $SCD$ suy ra:
\(S_{SCD}=2a^2\) (hoặc cm được \(SD^2+CD^2=SC^2\) nên $SCD$ vuông tại $D$ , dễ dàng tính được diện tích)
\(\Rightarrow S_{S.BCD}=S_{B.SCD}=\frac{1}{3}.BM.S_{SCD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{6}}{3}a^3=\frac{1}{3}BM.2a^2\Rightarrow BM=\frac{\sqrt{6}a}{2}\)
Do đó: \(\sin \angle BSM=\frac{BM}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Hay góc tạo bởi $SB$ và $(SCD)$ là \(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}\)
