Đáp án:
$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$
Giải thích các bước giải:
+) $∆SAB$ có $SA = SB;\, \widehat{ASB}=60^o$
$\to ∆SAB$ đều
$\to AB = SA = SB = a$
+) $∆SBC$ có $SA = SB;\, \widehat{BSC}=90^o$
$\to ∆SBC$ vuông cân tại $S$
$\to BC = SB\sqrt2 = a\sqrt2$
+) $∆SAC$ có $SA = SC = a;\, \widehat{ASC}=120^o$
Áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$AC^2 = SA^2 +SC^2 - 2SA.SC.\cos\widehat{ASC}$
$\to AC^2 = a^2 + a^2 - 2.a.a.\cos120^o$
$\to AC^2 = 3a^2$
$\to AC =a\sqrt3$
Nhận thấy $AC^2 = 3a^2 = a^2 + 2a^2 = AB^2 + BC^2$
$\to ∆ABC$ vuông tại $B$ (theo định lý Pytago đảo)
$\to S_{ABC}=\dfrac12AB.BC =\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt2 =\dfrac{a^2\sqrt2}{2}$
Gọi $O$ là tâm của $∆ABC$
$\to OA = OC = OB =\dfrac12AC=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ ($∆ABC$ vuông tại $B$)
mà $SA = SB = SC$
nên $SO\perp (ABC)$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$\to SO = \sqrt{SA^2 - OA^2}=\sqrt{a^2 - \dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a}{2}$
Do đó:
$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SO =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt2}{2}\cdot \dfrac a2 =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$
