Đáp án:
$V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm $AB,\ CD$
Ta có:
$\triangle SAB$ đều cạnh $AB = a$
$\Rightarrow SM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Mặt khác:
$\begin{cases}SA = SB\\MA = MB\\NA = NB\end{cases}$
$\Rightarrow (SMN)\perp AB$
mà $AB\subset (ABCD)$
nên $(SMN)\perp (ABCD)$
Trong $mp(SMN)$ kẻ $SH\perp MN$
Ta được:
$\begin{cases}(SMN)\perp (ABCD)\quad (cmt)\\(SMN)\cap (ABCD) = MN\\SH\perp MN\\SH\subset (SMN)\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
Xét $\triangle SMN$ có:
$SM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$SN = \dfrac12CD = \dfrac a2$
$MN = BC = AD= a$
$\Rightarrow \triangle SMN$ vuông tại $S$
Khi đó:
$SM.SN = SH.MN = 2S_{SMN}$
$\Rightarrow SH =\dfrac{SM.SN}{MN} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac a2}{a}$
$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{4}$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SH = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac{a\sqrt3}{4}$
$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
