Đáp án:
A. $\dfrac{1}{3}$
Giải thích các bước giải:
Vì $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt $SC$ ở $C'$ nên $AC'⊥SC$
Gọi $O = AC ∩ BD$; $I = SO ∩ AC'$
$S.ABCD$ là chóp tứ giác đều có $O$ là tâm đáy nên $SO\bot(ABCD)$
Ta có: $\begin{cases}SO⊥BD\\AC⊥BD\end{cases} ⇒ BD⊥(SAC)$
$⇒ BD⊥SC$ mà $B'D'⊥SC$ (do $B'D'$ nằm trong $((\alpha)⊥SC)$
nên $B'D'//BD$
$⇒$ Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB$, $SD$ tại $B', D'$ là hai điểm cần tìm
Ta có: $AC = \sqrt[]{AD^{2}+DC^{2}} = \sqrt[]{a^{2}+a^{2}} $
$= a\sqrt[]{2} = SA = SC$
$⇒ ΔSAC$ đều mà $AC'$ là đường cao
$⇒ AC'$ cũng là đường trung tuyến
Xét $ΔSAC$ có $AC'$ là trung tuyến, $SO$ là trung tuyến, $AC' ∩ SO$ tại $I$
$⇒ I$ là trọng tâm $ΔSAC ⇒ \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{3}$
mà $B'D'$ qua $I$ và song song với $BD $
$⇒ \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac{SD'}{SD} = \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{3}$
Vậy:
$\dfrac{V_{S.AB'C'D'}}{V_{S.ABCD}} =\dfrac{V_{S.AB'C'}+V_{S.AC'D'}}{V_{S.ABCD}}$
$=\dfrac{1}{2}.(\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}+ \dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SC'}{SC})$
$= \dfrac{1}{2}.(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2})$
$= \dfrac{1}{3}$.
