Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh \(\Delta BCE \sim \Delta DBE\)
Có ABCD là hình chữ nhật (gt)
\( \Rightarrow \angle BCD = {90^o} \Rightarrow \angle BCE = {180^o} - \angle BCD = {90^o}\) (hai góc kề bù)
Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta DBE\) có:
\(\begin{array}{l}\angle E\,\,\,chung\\\angle BCE = \angle DBE = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta BCE \sim \Delta DBE\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
b) Kẻ đường cao CH của tam giác BCE. Chứng minh: \(B{C^2} = CH.BD\)
Có \(\Delta BCE \sim \Delta DBE\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle CBH = \angle BDC\)  (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta CHB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle BDC = \angle CBH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BCD = \angle CHB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta CHB\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{CH}} \Rightarrow B{C^2} = CH.BD\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
  c) Tính độ dài đoạn thẳng BH và BE
Có ABCD là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB = CD = 8cm;\,\,AD = BC = 6cm\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABD vuông tại A:
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {8^2} + {6^2} = 100 \Rightarrow BD = 10cm\)
Có \(\Delta BCD \sim \Delta CHB\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{BH}} \Rightarrow BH = \frac{{CD.BC}}{{BD}} = \frac{{8.6}}{{10}} = \frac{{24}}{5}\,\,\left( {cm} \right).\)
Có \(B{C^2} = CH.BD\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CH = \frac{{B{C^2}}}{{BD}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = \frac{{18}}{5}\,\,\left( {cm} \right).\)
Xét \(\Delta CEH\) và \(\Delta DEB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle E\,\,chung\\\angle CHE = \angle DBE = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta CEH \sim \Delta DEB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{BE - HE}}{{BE}} = \frac{{BD - CH}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BD - CH}}{{BD}}\\ \Rightarrow BE = \frac{{BH.BD}}{{BD - CH}} = \frac{{\frac{{24}}{5}.10}}{{10 - \frac{{18}}{5}}} = \frac{{15}}{2}\,\,(cm).\end{array}\)
d) Tính tỉ số diện tích của \(\Delta CEH\) và \(\Delta DEB\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta CEH}} = \frac{1}{2}CH.HE\\{S_{DEB}} = \frac{1}{2}BD.BE\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CEH}}}}{{{S_{\Delta DEB}}}} = \frac{{CH.HE}}{{DB.BE}} = \frac{{CH}}{{DB}}.\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{DB}}.\frac{{CH}}{{DB}}\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{BD}}\,\,\,cm\,\,b)} \right)\\ = {\left( {\frac{{CH}}{{DB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{18}}{{5.10}}} \right)^2} = \frac{{81}}{{625}}.\end{array}\)