Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
Tứ giác AHIK có:
\(\begin{array}{l}\angle AHI = {90^0}{\rm{ }}(IH \bot AB)\\\angle AKI = {90^0}{\rm{ }}(IK \bot AD)\\ \Rightarrow \angle AHI + \angle AKI = {180^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHIK nội tiếp (dhnb).
b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta IBC\) ta có:
\(\angle {A_1} = \angle {B_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))
\(\angle AID = \angle BIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta IAD \sim \Delta IBC\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}} \Rightarrow IA.IC = IB.ID\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có
\(\angle {A_1} = \angle {H_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)
Mà \(\angle {A_1} = \angle {B_1}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {B_1}\,\,\left( { = \angle {A_1}} \right)\)
Chứng minh tương tự, ta được \(\angle {K_1} = \angle {D_1}\,\,\left( { = \angle CAH} \right)\)
Xét \(\Delta HIK\) và \(\Delta BCD\) có:
 \(\begin{array}{l}\angle {H_1} = \angle {B_1}{\rm{ }}\,\left( {cmt} \right)\\\angle {K_1} = \angle {D_1}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta HIK \sim \Delta BCD\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ làdiện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: \(\frac{{S'}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4.A{I^2}}}\)

Gọi S1 là diện tích của \(\Delta \)BCD.
Vì \(\Delta HIK \sim \Delta BCD\,\,\left( {cmt} \right)\) nên:
\(\frac{{S'}}{{{S_1}}} = \frac{{H{K^2}}}{{B{D^2}}} = \frac{{H{K^2}}}{{{{(IB + ID)}^2}}} \le \frac{{H{K^2}}}{{4IB.ID}} = \frac{{H{K^2}}}{{4IA.IC}}\) (1)
Vẽ \(AE \bot BD{\rm{ , }}CF \bot BD \Rightarrow AE//CF \Rightarrow \frac{{CF}}{{AE}} = \frac{{IC}}{{IA}}\)
\(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) có chung cạnh đáy BD nên:
\(\frac{{{S_1}}}{S} = \frac{{CF}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{S} = \frac{{IC}}{{IA}}\)  (2)
Từ (1) và (2) suy ra:  \(\frac{{S'}}{{{S_1}}} \cdot \frac{{{S_1}}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4IA.IC}} \cdot \frac{{IC}}{{IA}} \Leftrightarrow \frac{{S'}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4I{A^2}}}\) (đpcm)