Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Xét ΔAHD có:
AM=MH (M là trung điểm của AH)
DN=NH (N là trung điểm của DH)
=> MN là đường trung bình của ΔAHD (Định nghĩa đường trung bình)
=> MN//AD (Định lí 2 của đường trung bình)
2) +) Ta có : MN//AD (Cm ở câu a)
AD//BC (2 cạnh đối của hình chữ nhật ABCD; Tính chất của hình chữ nhật)
=> MN//BC (Tính chất 3 đường thẳng song song)
Hay: MN//BI
+) Ta có: MN=$\frac{1}{2}$ AD (MN là đường trung bình của ΔAHD; Định lí 2 của đường trung bình)
BI=$\frac{1}{2}$ BC (I là trung điểm của BC)
Mà: AD=BC (2 cạnh đối của hình chữ nhật ABCD; Tính chất của hình chữ nhật)
=> MN=BI
Xét tứ giác BMNI có:
MN//BI (cmt)
MN=BI (cmt)
=> Tứ giác BMNI là hình bình hành
3) +) Ta có: MN//AD (Cm ở câu a)
AD⊥AB (Hình chữ nhật ABCD; Tính chất của hình chữ nhật)
=> MN⊥AB (Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại)
+) Xét ΔABN có:
AH⊥BN (H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD)
MN⊥AB (cmt)
Mà AH giao MN tại M
=> M là trực tâm của ΔABN
=> BM⊥AN
+) Ta có: BM//NI (2 cạnh đối của hình bình hành BMNI; Tính chất của hình bình hành)
BM⊥AN (cmt)
=> NI⊥AN (Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại)
=> ΔANI vuông tại N
