Đáp án:
`a)` `|\vec{AO}+\vec{CD}|=5/ 2`
`\qquad |\vec{AB}-\vec{OC}-\vec{DA}|=5/2`
`b)` `|\vec{AB}+\vec{AK}|={20}/3`
Giải thích các bước giải:
`a)` Hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$
`=>OA=OB=OC=OD={BD}/2`
`\qquad \vec{OC}=\vec{AO}; \vec{DA}=\vec{CB}`
Xét $∆ABD$ vuông tại $A$
`=>BD^2=AB^2+AD^2` (định lý Pytago)
`=>BD=\sqrt{4^2 +3^2}=5`
`=>OC=OD={BD}/2=5/ 2`
Ta có:
`\qquad |\vec{AO}+\vec{CD}|`
`=|\vec{OC}+\vec{CD}|=|\vec{OD}|=OD=5/ 2`
$\\$
`\qquad |\vec{AB}-\vec{OC}-\vec{DA}|`
`=|\vec{AB}-\vec{AO}-\vec{CB}|`
`=|\vec{OB}+\vec{BC}|=|\vec{OC}|=OC=5/2`
Vậy: `|\vec{AO}+\vec{CD}|=5/ 2`
`\qquad |\vec{AB}-\vec{OC}-\vec{DA}|=5/2`
$\\$
`b)` $ABCD$ hình chữ nhật
`=>BC=AD=3; AC=BD=5`
Xét $∆ABC$ vuông tại $B$ có $BH\perp AC$
`=>BH.AC=AB.BC` (hệ thức lượng)
`=>BH={AB.BC}/{AC}={4.3}/5={12}/5`
$\\$
Xét $∆ABK$ vuông tại $A$ có $AH\perp BK$
`=>AB^2=BH.BK` (hệ thức lượng)
`=>BK={AB^2}/{BH}={4^2}/{{12}/5}={20}/3`
$\\$
Vẽ hình chữ nhật $ABEK$
`=>AE=BK={20}/3`
`\qquad \vec{AK}=\vec{BE}`
Ta có:
`\qquad |\vec{AB}+\vec{AK}|`
`=|\vec{AB}+\vec{BE}|=|\vec{AE}|=AE=BK={20}/3`
Vậy: `|\vec{AB}+\vec{AK}|={20}/3`
