Do A'ABD là hình chóp đều nên G là tâm \(\triangle ABD\Rightarrow A'G\perp (ABD)\)
=> A'G là chiều cao của lăng trụ. Gọi O là giao điểm của BD và AC. Ta có
\(AG=\frac{2}{3}.AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông A'AG ta có:
\(AG'=\sqrt{A'A^{2}+AG^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(S_{ABCD}=2.S_{\triangle ABD}=2.\frac{1}{2}.AO.BD=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
\(V_{ABCD.A'B'C'D'}=A'G.S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}\)
Gọi H là giao điểm của A'C' và B'D'. Do A'C' // AC nên
\(d(AB',A'C')=d(A'C',(ACB'))=d(H,(ACB'))\)
Từ H kẻ HE // A'G
\(\left.\begin{matrix} A'G\perp (ABCD)\\(A'B'C'D')||(ABCD) \end{matrix}\right\}\Rightarrow HE\perp (A'B'C'D')\Rightarrow HE\perp A'C\; \; (1)\)
Do A'B'C'D' là hình thoi nên \(A'C\perp B'D'\; \; \; (2)\)
Từ (1) và (2) => \(A'C'\perp (EB'D')\Rightarrow AC\perp (EB'D')\; \; (3)\)
=> HK = d(H; (ACB'))
Trong tam giác B'HE ta có:
\(\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{B'H^{2}}+\frac{1}{HE^{2}}=\frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{6a^{2}}=\frac{11}{2a^{2}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\)
