ĐK: \(-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}.\) Phương trình \(\Leftrightarrow (\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})^{2}+(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=\left [ \frac{(2x-1)^{2}}{2} \right ]+\frac{(2x-1)^{2}}{2}\; \; (*)\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{2}+t\) trên \([0; +\infty)\) có \(f'(t)=2t+1>0 \; \forall t \in [0; +\infty)\) nên hàm số f(t) đồng biến trên \([0; +\infty)\)
Do đó pt (*) trở thành \(\left\{\begin{matrix} f\left ( \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x} \right )=f\left ( \frac{(2x-1)^{2}}{2} \right )\\ f \end{matrix}\right.\) đồng biến
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{(2x-1)^{2}}{2}\Leftrightarrow 8(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=4(2x-1)^{2}\)
\(\Leftrightarrow 8(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=[(2x+1)-(3-2x)]^{2}\; \; (**)\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}=a\geq 0\\ \sqrt{3-2x}=b\geq 0 \end{matrix}\right.\) thì phương trình (**) trở thành \(\left\{\begin{matrix} 8(a+b)=(a^{2}-b^{2})^{2}\\ a^{2}+b^{2}=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(a+b)=(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}\; \; (1)\\ a^{2}+b^{2}=4\; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Từ \((1)\Rightarrow 8(a+b)=16-4a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 2(a+b)=4-a^{2}b^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+2ab)=16-8a^{2}b^{2}+a^{4}b^{4}\; \; (***)\)
Đặt \(ab=t\, (0\leq t\leq 2)\) thì pt (***) trở thành
\(16+8t=16-8t^{2}+t^{4}\Leftrightarrow t(t+2)(t^{2}-2t-4)=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t=-2\; (loai) \\ t=1+\sqrt{5} \; (loai) \\ t=1-\sqrt{5}\; (loai) \end{matrix}\). Vậy \(t=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=2\\ \sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{3}{2} \end{matrix}\)
