Đáp án:
$d(C'M,AB)=\dfrac{a\sqrt6}{\sqrt{11}}$
Giải thích các bước giải:
Chọn hệ quy chiếu $Oxyz$ như hình vẽ
$M\equiv O,Ox\equiv MA, Oy\equiv MB, Oz\bot (ABC)$
$\Delta ABC$ cân đỉnh A, $\widehat A=120^o\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30^o$,
$AB=2a$, M là trung điểm của BC nên $AM\bot BC$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta AMB\bot M$
$\sin\widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow MA=AB.\sin \widehat{ABM}=2a.\sin30^o=a$
$\cos\widehat{ABM}=\dfrac{BM}{AB}\Rightarrow BM=AB.\cos\widehat{ABM}=2a.\cos30^o=a\sqrt3$
$\Rightarrow M(0,0,0); A(a,0,0);B(0,a\sqrt3,0);C'(0,-a\sqrt3,a\sqrt2)$
$\Rightarrow\vec{C'M}=(0,a\sqrt3,-a\sqrt2)$
$\vec{AB}=(-a,a\sqrt3,0),\vec{AM}=(-a,0,0)$
$\Rightarrow d(C'M,AB)=\dfrac{|[\vec{C'M},\vec{AB}],\vec{AM}|}{|[\vec{C'M},\vec{AM}]|}$
$[\vec{C'M},\vec{AB}]=(a^2\sqrt6,a^2\sqrt2,a^2\sqrt3)$
$\Rightarrow[\vec{C'M},\vec{AB}].\vec{AM}=-a^3\sqrt6$
$|[\vec{C'M},\vec{AB}]|=a^2\sqrt{11}$
$\Rightarrow d(C'M,AB)=\dfrac{|a^3\sqrt6|}{a^2\sqrt{11}}=\dfrac{a\sqrt6}{\sqrt{11}}$
