- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(A'M \bot BC\).- Sử dụng \({S_{A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'M.BC\), tính \(A'M\).- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(AA'\).- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\).Giải chi tiết:Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).khi đó ta có \({S_{A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'M.BC \Rightarrow A'M = \dfrac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{a} = a\sqrt 3 \).Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'AM\) ta có \(AA' = \sqrt {A'{M^2} - A{M^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{3a}}{2}\).Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).Chọn C
