Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.Giải chi tiết:
a) Đường thẳng BD và \({A_1}C\) không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt nhau thì 4 điểm\(B,C,D,{A_1}\)  cùng thuộc một mặt phẳng
\( \Rightarrow {A_1} \in mp\left( {BCD} \right)\)\( \Leftrightarrow {A_1} \in mp\left( {ABCD} \right)\) (mâu thuẫn)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel {A_1}{D_1}\\{A_1}{D_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AD\parallel mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\)
Vậy có 3 mặt phẳng \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{D_1}B} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{D_1}C} \right)\) song song với AD.
c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{AC \bot B{B_1}}\end{array}} \right.\)
Xét mặt phẳng\(\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)có : \(BD \cap B{B_1} = \left\{ B \right\}\)
\( \Rightarrow AC \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)
Vậy có duy nhất \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)vuông góc với \(AC\).
d) Xét mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)và\(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)có:
\(AD\parallel \,{A_1}{D_1}\) (hình chữ nhật \(A{A_1}{D_1}D\))
\(AB\parallel \,{A_1}{B_1}\)(hình chữ nhật \(A{A_1}{B_1}B\))
\(AB \cap AD = \left\{ A \right\}\); \({A_1}{B_1} \cap {A_1}{D_1} = \left\{ {{A_1}} \right\}\)
\( \Rightarrow mp\left( {ABCD} \right)\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)
Xét mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\)và\(\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)có:
\(AB\parallel \,CD\) (hình thang cân \(ABCD\))
\(A{A_1}\parallel \,D{D_1}\)(hình chữ nhật \(A{A_1}{D_1}D\))
\(AB \cap A{A_1} = \left\{ A \right\}\); \(C{D_1} \cap D{D_1} = \left\{ {{D_1}} \right\}\)
\( \Rightarrow mp\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\parallel mp\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)
Vậy các cặp mặt phẳng song song với nhau là: \(mp\left( {ABCD} \right)\parallel mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) và \(mp\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\parallel mp\left( {CD{D_1}{C_1}} \right)\)
e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vuông góc với hai đáy \(mp\left( {ABCD} \right)\) và \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là: \(mp\left( {A{A_1}{B_1}B} \right)\), \(mp\left( {B{B_1}{C_1}C} \right)\), \(mp\left( {C{C_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {A{A_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {A{A_1}{C_1}C} \right)\), \(mp\left( {BD{D_1}{B_1}} \right)\).
Mặt khác:
+ Vì \(AC \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\) nên các mặt phẳng chứa AC đều vuông góc với \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), do đó ta có:
\(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {AC{B_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {AC{D_1}} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\).
+ Vì \(BD \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \(BD\) đều vuông góc với \(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), do đó ta có:
\(mp\left( {BD{D_1}{B_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)
\(mp\left( {BD{A_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)
\(mp\left( {BD{C_1}} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)
+ Vì \({A_1}{C_1} \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \({A_1}{C_1}\) đều vuông góc với \(mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), do đó ta có thêm: \(mp\left( {{A_1}{C_1}B} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\), \(mp\left( {{A_1}{C_1}D} \right) \bot mp\left( {B{B_1}{D_1}D} \right)\)
+ Vì \({B_1}{D_1} \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\) nên các mặt phẳng chứa \(BD\) đều vuông góc với \(mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), do đó ta có thêm:
\(mp\left( {{B_1}{D_1}A} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\), \(mp\left( {{B_1}{D_1}C} \right) \bot mp\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\)