Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1. Hai điểm \(M,\,N\) lần lượt thay đổi trên các đoạn \(A{B_1}\) và \(B{C_1}\) sao cho \(MN\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\)(tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn \(MN\) làA

nguyenhachi

2 năm trước

Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1. Hai điểm \(M,\,N\) lần lượt thay đổi trên các đoạn \(A{B_1}\) và \(B{C_1}\) sao cho \(MN\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\)(tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn \(MN\) là
A.\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
B.\(2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\).
C.\(2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\).
D.\(\sqrt 3 - 1\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 25 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenhachi

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),{A_1}\left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \({B_1}\left( {1;0;1} \right),{C_1}\left( {1;1;1} \right)\).
Đường thẳng \(A{B_1}\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {m;0;m} \right) \in A{B_1}\).
Đường thẳng \(B{C_1}\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {1;n;n} \right) \in B{C_1}\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 - m;n;n - m} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right):z = 0\) có VTPT \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Góc giữa \(MN\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {n - m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {n - m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} \right] = 4{\left( {n - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {n - m} \right)^2} = 3\left[ {{n^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} \right] \ge \frac{3}{2}{\left( {n + 1 - m} \right)^2} = \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {n - m} \right)}^2} + 2\left( {n - m} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {n - m} \right)^2} + 6\left( {n - m} \right) + 3 \le 0\\ \Leftrightarrow - 3 - \sqrt 6 \le n - m \le - 3 + \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt 6 \le \left| {n - m} \right| \le 3 + \sqrt 6 \\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{4}{3}{{\left( {n - m} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left| {n - m} \right|\end{array}\)
Mà \(3 - \sqrt 6 \le \left| {n - m} \right| \le 3 + \sqrt 6 \)\( \Rightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left| {n - m} \right| \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 + \sqrt 6 } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) \le MN \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 + \sqrt 6 } \right)\\ \Rightarrow M{N_{\min }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) = 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right).\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 - m = n\\\left| {n - m} \right| = 3 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 4x - 6x{e^{{x^2} - f\left( x \right) - 2019}} = 0\) và \(f\left( 0 \right) = - 2019\). Số nghiệm nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(f\left( x \right) < 7\) là
A.\(91\)
B.\(46\)
C.\(45\)
D.\(44\)

Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?.
A.\(a > 0,b > 0,c < 0\).
B.\(a 0,c < 0\).
C.\(a > 0,b < 0,c < 0\).
D.\(a > 0,b > 0,c > 0\).

Tính thể tích \(V\)của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh \(a\).
A.\(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
B.\(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3 \).
C.\(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
D.\(V = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Gọi \(A,B\) lần lượt là 2 điểm biểu biễn số phức \({z_1},{z_2}\) trong mặt phẳng phức ở hình vẽ bên. Tính \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|.\)
A.\(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\)
B.\(\sqrt 5 \)
C.\(\sqrt {17} \)
D.\(\sqrt {29} \)

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?.
A.\(y = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\)
B.\(y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{e}} \right)^x}\)
C.\(y = {\left( {\sqrt {2020} - \sqrt {2019} } \right)^x}\)
D.\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 4} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z - 1 = 0\). Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng
A.\({60^0}\).
B.\({30^0}\).
C.\({45^0}\).
D.\({90^0}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {2;3} \right]\)và \(\int\limits_2^3 {\left( {x - 2} \right)f'\left( x \right)\,} dx = a\), \(f\left( 3 \right) = b\). Tính tích phân \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} \,dx\) theo \(a\) và \(b\).
A.\( - a - b\).
B.\(b - a\).
C.\(a - b\).
D.\(a + b\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( {3 - {e^x}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B.\(\left( {2; + \infty } \right)\)
C.\(\left( {\ln 2;\ln 4} \right)\)
D.\(\left( {\ln 2;4} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 5 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
A.\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\)
B.\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\)
C.\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\)
D.\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\)

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\,x + 2\,\)có đồ thị \(\,\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đồ thị có hoành độ \({x_M} = 1\). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm \(M\) song song với đường thẳng \(y = - 3x + 4\).
A.\(0\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.\(1\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến