Gọi $(O;R)$ là đường tròn đáy của hình nón đỉnh $S$

$\Rightarrow SO\perp mp(\alpha)$ chứa $(O;R)$

Gọi $SH$ là đường sinh của hình nón

$\Rightarrow H\in (O;R); \, OH = R = a$

$\Rightarrow \widehat{(SH;(\alpha))} = \widehat{SHO} = 60^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SO = OH.\tan60^o = a\sqrt3\\SH = \dfrac{OH}{\cos60^o} = 2a\end{cases}$

a) Gọi $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều ngoại tiếp hình nón

$\Rightarrow (O;R)$ là đường tròn nội tiếp $ΔABC$

$\Rightarrow OH = a;\, OH \dfrac{1}{2}OA = \dfrac12 \cdot \dfrac{AB\sqrt3}{3}$

$\Rightarrow a = \dfrac{AB\sqrt3}{6}$

$\Rightarrow AB = 2a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{(2a\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = 3a^2\sqrt3$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot 3a^2\sqrt3\cdot a\sqrt3 = 3a^3$

Mặt khác:

$S_{xq} = 3S_{SAB} = 3\cdot\dfrac12 AB\cdot SH = \dfrac{3}{2}\cdot 2a\sqrt3\cdot 2a = 6a^2\sqrt3$

b) Gọi $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón

$\Rightarrow (O;R)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$

$\Rightarrow OA = OH = R = a$

$\Rightarrow \dfrac{AB\sqrt3}{3} = a$

$\Rightarrow AB = a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{(a\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt3 = \dfrac{3a^3}{4}$

Mặt khác:

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{a}{2}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$\Rightarrow SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{3a^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$

Do đó:

$S_{xq} = 3S_{SAB} = 3\cdot\dfrac12 SM\cdot AB = \dfrac32\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\cdot a\sqrt3 = \dfrac{3a^2\sqrt{39}}{4}$